Medidas de Dispersión

3.1 RANGO

Es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con lel fin de obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

El rango (R) o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de un conjunto de datos.

Ejemplos:

1.- Supongamos que deseamos calcular el rango de las edades del once inicial de un equipo de fútbol.






El jugador más mayor (máximo del conjunto) tiene 31 años, mientras que el más joven (mínimo) 18. Por lo tanto el rango es:

2.-

3.-

3.2 DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

Ejemplos:

1.-Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

2.- Calcular la desviación media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi
[10, 15)	3
[15, 20)	5
[20, 25)	7
[25, 30)	4
[30, 35)	2

	xi	fi	|x − x | · fi
[10, 15)	12.5	3	27.857
[15, 20)	17.5	5	21.429
[20, 25)	22.5	7	5
[25, 30)	27.5	4	22.857
[30, 35)	32.5	2	21.429
		21	98.571

Media



Desviación media

3.- Calcular la desviación media de la distribución:

	xi	fi	xi · fi	|x - x|	|x - x| · fi
[10, 15)	12.5	3	37.5	9.286	27.858
[15, 20)	17.5	5	87.5	4.286	21.43
[20, 25)	22.5	7	157.5	0.714	4.998
[25, 30)	27.5	4	110	5.714	22.856
[30, 35)	32.5	2	65	10.174	21.428
		21	457.5		98.57

3.3 DESVIACIÓN TÍPICA

La desviación típica es la medida de dispersión (S) asociada a la media. Mide el promedio de las desviaciones de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) de la media (x) en las mismas unidades de los datos. Dicho de otra forma, es un indicador de cómo tienden a estar agrupados los datos respecto a la media.









El cuadrado de la desviación típica es la varianza.

Cuando se trata de la desviación típica de una población, el denominador es N. Si se trata de una muestra, será N-1.

Desviación típica para datos agrupados



Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejemplos:

1.-Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

2.- Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

3.-El número de veces que va al cine en un mes cada componente de un grupo de once amigos es:


2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4
1


0.95

3.4 VARIANZA

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .





Varianza para datos agrupados




Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejemplos:

1.- Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

2.- Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

3.- Un médico de un instituto quiere realizar un estudio para ver si los alumnos de un centro tienen sobrepeso. Le interesaría calcular la varianza para ver como difieren los pesos respecto a la media. Para ello, se selecciona una muestra de doce alumnos de 14 o 15 años.

Se calcula la media de los pesos de los alumnos, y se obtiene que x = 53,5kg.

Una vez se sabe la media, se halla la diferencia de cada elemento respecto a esta, para calcular la dispersión de los datos.

Una vez se ha calculado el cuadrado de la diferencia de cada elemento con la media, ya se puede determinar lavarianza (S2):







El valor alto de la varianza confirma una de sus características: que es sensible a los valores que se separan bastante de la media.

A continación se puede observar un gráfico de las diferencias del peso de cada alumno respecto a la media:

2.- Medidas de tendencia central

2.1 MEDIA ARITMÉTICA

Es un promedio que en datos no agrupados se obtiene de la suma de los valores dividida entre el total de los datos 

Para datos agrupados se obtiene de la suma por la frecuencia de cada clase por su marca de clase entre el numero de datos

Ejemplos:

1.- Datos agrupados

2.- Datos no agrupados

3.-

2.2 MEDIANA

Es un promedio que se ubica justo a la mitad de los datos, dividiéndola en dos partes iguales

Ejemplos:

1.- Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas . Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene .

• Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

2.-Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.

Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.

3.- Hallar la mediana de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi
[10, 15)	3
[15, 20)	5
[20, 25)	7
[25, 30)	4
[30, 35)	2

	fi	Fi
[10, 15)	3	3
[15, 20)	5	8
[20, 25)	7	15
[25, 30)	4	19
[30, 35)	2	21
	21

2.3 MODA

Es un promedio que consiste en el dato o datos que se repiten con mayor frecuencia. puede no existir.

Ejemplos:

1.-Calcular la moda de la distribución estadística:

	fi
[0, 5)	3
[5, 10)	5
[10, 15)	7
[15, 20)	8
[20, 25)	2
[25, ∞)	6

2.-Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi
[60, 63)	5
[63, 66)	18
[66, 69)	42
[69, 72)	27
[72, 75)	8
	100

3.-Calcular la moda de una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	fi
[10, 15)	3
[15, 20)	5
[20, 25)	7
[25, 30)	4
[30, 35)	2

2.4 MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica (MG) de un conjunto de números estrictamente positivos (X₁, X₂,…,X_N) es la raíz N-ésima del producto de los N elementos.

                                                                Todos los elementos del conjunto tienen que ser mayores que cero. Si algún elemento fuese cero (Xi=0), entonces la MG sería 0 aunque todos los demás valores estuviesen alejados del cero.

La media geométrica es útil para calcular medias de porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible como la media a los valores extremos.

Ejemplos:

1.-En una empresa quieren saber la proporción media de mujeres en los diferentes departamentos. Para ello, se recoge el porcentaje de mujeres en los cinco principales departamentos.

Como es la media de porcentajes, calculamos la media geométrica que es más representativa.

2.-

3.-

2.5 MEDIA ARMÓNICA

La media armónica (H) de un conjunto de elementos no nulos (X1, X2,…,XN) es el recíproco de la suma de los recíprocos (donde 1/Xi es el recíproco de Xi)) multiplicado por el número de elementos del conjunto (N).

La media armónica es la recíproca de la media aritmética. Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no nulos. Esta media es poco sensible a los valores grandes, pero muy sensible a los valores próximos a cero, ya que los recíprocos 1/Xi son muy altos.

La media armónica no tiene un uso muy extenso en el mundo científico. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.

Ejemplos:

1.- Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio de velocidades, calculamos la media armónica.

La media armónica es de H=52,61km/h.

2.- 3.-